כפל במספר – אמצע קטע ונקודה שמחלקת קטעוקטורים 472 · שיעור 4
וקטורים · שאלון 472
שיעור 4: כפל במספר – אמצע קטע ונקודה שמחלקת קטע
פרק 2 – חיבור, חיסור וכפל במספר (סעיפי א מבגרויות)
1נוסח השאלה
2סעיף א – הווקטור BC
3סעיף ב – וקטור לאמצע הקטע
4סעיף ג – נקודה שמחלקת קטע ביחס
5סעיף ד – הווקטור SN
📄 נוסח השאלה
בסרטוט פירמידה משולשת SABC. נסמן: SA = u , SB = v , SC = w. הנקודה M היא אמצע המקצוע BC.
א. הביעו את BC באמצעות v ו־w.
ב. הביעו את SM באמצעות v ו־w.
הנקודה K נמצאת על הקטע SM כך ש־SK : KM = 2 : 1.
ג. הביעו את SK ואת AK באמצעות u , v ו־w.
📄 נוסח השאלה · המשך
הנקודה N נמצאת על המקצוע AB כך ש־AN : NB = 1 : 3.
ד. הביעו את SN באמצעות u ו־v.
סעיף א – הווקטור BC
הולכים מ־B אל הקודקוד S ומשם אל C. BS נגדי ל־SB:
BC = BS + SC = −v + w
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
אפשר גם בחיסור: שני הווקטורים SB ו־SC יוצאים מאותה נקודה S:
BC = SC − SB = w − v
📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)
✅ פתרון סופי: BC = w − v
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)
XZ − XY = YZ
סעיף ב – וקטור לאמצע הקטע
M אמצע BC, ולכן BM הוא חצי מ־BC:
BM = 12BC = 12(w − v)
📐 אמצע קטע (M אמצע BC)
SM = SB + BM
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב SB = v , BM = 12w − 12v:
SM = v + 12w − 12v
SM = 12v + 12w
📐 אמצע קטע (M אמצע BC)
BM = 12BC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
סעיף ב – וקטור לאמצע הקטע · המשך
SM = 12v + 12w
קיבלנו את הנוסחה המוכרת: וקטור לאמצע קטע הוא ממוצע שני הווקטורים לקצות הקטע.
📐 וקטור לאמצע קטע (M אמצע BC)
✅ פתרון סופי: SM = 12v + 12w
📐 וקטור לאמצע קטע (M אמצע BC)
SM = 12(SB + SC)
סעיף ג – נקודה שמחלקת קטע ביחס
SK : KM = 2 : 1: הקטע SM מחולק ל־3 חלקים שווים, ו־SK הוא 2 מהם:
SK = 23SM = 23(12v + 12w)
📐 נקודה שמחלקת קטע ביחס (AN : NB = m : n)
SK = 13v + 13w
📐 כפל וקטור במספר
AK: הולכים מ־A אל S ומשם אל K. AS נגדי ל־SA:
AK = AS + SK
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב AS = −u , SK = 13v + 13w:
📐 נקודה שמחלקת קטע ביחס (AN : NB = m : n)
AN = mm + nAB
📐 כפל וקטור במספר
k(a + b) = ka + kb
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
סעיף ג – נקודה שמחלקת קטע ביחס · המשך
נציב AS = −u , SK = 13v + 13w:
AK = −u + 13v + 13w
✅ פתרון סופי: SK = 13v + 13w , AK = −u + 13v + 13w
סעיף ד – הווקטור SN
קודם AB (חיסור של שני וקטורים שיוצאים מ־S):
AB = SB − SA = v − u
📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)
AN : NB = 1 : 3: המקצוע מחולק ל־4 חלקים שווים, ו־AN הוא חלק אחד:
AN = 14AB = 14(v − u)
📐 נקודה שמחלקת קטע ביחס (AN : NB = m : n)
SN = SA + AN
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
נציב SA = u , AN = 14v − 14u:
📐 חיסור וקטורים (שני וקטורים מאותה נקודה)
XZ − XY = YZ
📐 נקודה שמחלקת קטע ביחס (AN : NB = m : n)
AN = mm + nAB
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
XY + YZ = XZ
סעיף ד – הווקטור SN · המשך
נציב SA = u , AN = 14v − 14u:
SN = u + 14v − 14u
SN = 34u + 14v
✅ פתרון סופי: SN = 34u + 14v
📌 סיכום התשובות
סעיף א
BC = w − v
סעיף ב
SM = 12v + 12w
סעיף ג
SK = 13v + 13w
AK = −u + 13v + 13w
AK = −u + 13v + 13w
סעיף ד
SN = 34u + 14v
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא